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一番限を最短で紹介するよ

一順番限は人間の理解力を卓越した概念だとしても、それで諦めないのが数学者!

一順番限とは何?
一順番限はなぜ1通りじゃないの?
一順番限プラス1って一体なに? 

疑わしいは一順番限大です。



数学者は「一順番限」をかなり厳密に定義していますが、本稿では「一順番限とは有限でない数すべてを包括するもの」という、なおさら大雑把で身近な定義で通すことにしますね...さ、五月蝿い前置きはこれぐらいにして心を広げ、一順番限の世界にソ~ッと忍び寄って参りまひょ~。

【写真付き詳細記事】


The Beginning of Infinity - 一順番限のはじまり

一順番限を語るその前に、数学的にどう定義するのか、まずはそこんとこ知らないと始まりませんよね。で、これが結構五月蝿いのです。

一順番限の概念は古代ギリシャ人も知ってたし、アイザック?ニュートン、ゴットフリート?ヴィルヘルム?ライプニッツの微積分学でも大切な位置を占入れいるんですが、厳密な定義がなされたのは1800年代後半に入ってから。それまでは大雑把な形も定まらない概念に過ぎず、それ自体に読む値打ちなんてない、特定の数学の制御で売れる不天然なオマケ、ぐらいにしか思われてなかったんですねー。


事実、19世紀の数学者には一順番限をなんとな~く悪情緒風味なものとして煙たがって勤勉な数学の議論の対象になるものでは絶対ないと思ってる人も大威勢たんですよ。せいぜい哲学者の議論のネタになる程度のもの...という言われようからも、当場合どれだけ見下されていたかが朝飯前に想像できるというものですね。

ゲオルク?カントール(Georg Cantor)が初入れ一順番限の存在実証を公表したのは、そんな大気の層が統治する1874年のことでした。

ロシア天性、ドイツ育ちのカントールは、一順番限の性質を定義するのみならず、一順番限が複数存在し、ある一順番限は他の一順番限より大きいという実証まで提示してのけ、世をアッと驚かせ、一体なんなんだそれは!...とたちまち大騒ぎになります。

カントールがすごいのは、これすべて集合論という、煮てもプリントしても食えない感じの古代の数学の一学派の理論をベースに、そこに自分なりの考察を加えて発展させた、というところ。穴だらけでも気づきを形に残した古代人も素晴らしいけど。それは喩えて言うなら手押し車から惑星間移動エンジンを開発するにも等しい、数学領域における途方もない偉業でした。
 

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Set Theory - 集合論とは?
集合論は一見、笑っちゃうぐらい朝飯前です。ところがこれが後に現代数学で最も強力なツールとして威力を発揮してくんですね。その基本概念は古くはア書き出したテレスの場合代からあった痕形跡も見つかってるわけですが、朝飯前に言うと、こうです。

「数は集合(set)にグループ分けできる」―以上おしまい。なおさら平たく言うと「物事は集合にグループ分けできる」という口ぶりもできます。

例えば、1、2、3、4を{1,2,3,4}という集合にまとめ、集合Aと呼ぶとします。文字D、ツナ板ばさみ、トーマス?ハーディの小説、海王星を{D、ツナ板ばさみ、トーマス?ハーディの小説、海王星}という集合にまとめ、こちらは集合Bと呼ぶとします。

なんてことないですよね? ところがどっこい、ここまできたら一順番限の正体を暴く大きな気づきまであと数歩なんですよ! 

試しに上記2つの集合を比べてみることにしましょう...大きいのは集合Aと集合B、どっちでしょ? 1個1個の元(term、要素とも。集合内のアイテムのこと)を比べてる間はこれは全然頭の回転が遅いげた質問に聞こえるかもしれませんよね、だってトーマス?ハーディの小説と数字の3では足元たも及ぼないですから!

ここで大切なポイントはサイズを比較するんですから、個別のアイテムを見るんじゃなく、元の数を見なきゃダメだってこと。そう思って見訂正すると、どちらも元は4個ありますから、サイズは同じ、ということがわかります。ふむ。

無料し今「4個」と答えたみなさんはその結論に飛びつく前に、どのようにしてその答えを導き出したか今一度よーーーく考えてみてくかっこ悪い。たぶん大体の人は各集合の元を無料数えて比べ無料けなのでは? そんなの基本の基本。当然過ぎて考えるまでもないことですよね~。

でも仮にみなさんが数のことを全然知らなくて数え方も知らなかったとしたら...どうでしょう? どうやってこの2つの集合を比べます? コレものすごくヘンな質問に聞こえるかもだけど、集合論を面白くパワフルなものにしているのは、まさにこうして他の数学とすっかり切り離せるところに秘密の一端があるんですよ。そんなわけでここでは、数えないで集合を比較する手立てを探さなきゃなりません。


Building a Correspondence - 対応させる

2つの各集合に何個アイテムがあるか分からなくても、まだ意世間と朝飯前に比べられますよね。集合Aと集合Bの元を1個1個突き合発言させていって、どっちかなくなるまでそれを継続しりゃいいんです。左から右に順に1とDを結び、 2とツナ板ばさみを結び、3とトーマス?ハーディの小説を結び、4と海王星を結ぶ。こうすれば各集合に元が何個あるか知らなくても、同じサイズであることは確かめることができます。
これが世に言う「一対一対応(one-to-one correspondence)」。この手法を使えば、びりな集合でも2つ比較することができます。元の数を数えるまでもなくね。

この最後のところで「おっと~一順番限の戸口まできたな...」と察しのいい人はとっくに直感づかれたかもね。そう、ここまでは故意に4までの数え方も知らないアホのフリこいてきたわけですが、にっちもさっちも数えようがない一順番限の元の集合だったら、どうでしょう? 

この一順番限の元の集合としてよく引き合いに出される例が天然数、つまり負の整数以世間の整数をゼロ(経緯註:集合論ではゼロもなる)から根こそぎ集めた数の集合です。

集合内の元の数のことを数学の用語で「濃度(Cardinality)」と呼びます。集合Aと集合Bはどっちも濃度が4ですが、全天然数の集合の濃度は一順番限です。無料しこれも語弊があって、一順番限は一順番限でも最も小さいタイプの一順番限「アレフゼロ(aleph-null、aleph-zero)」なのでございますよ。

じゃあ、なんでこの一順番限は他の一順番限より小さいの? これを読むには唐突ではございますが、超限数の算術をちょいと引っ弾力出さねばなりません。


The Arithmetics of Aleph-Null - アレフゼロの算術
全天然数の集合はアレフゼロ...とわかったところで、異常です。アレフゼロとアレフゼロ+1ではどちらが大きいでしょう? 

そうなんですよー、一順番大きな一順番限の数を語る場合には是非ともこの「1を足す」という面倒な異常がくるんですね...まあ、しょうがないですよね、有限数に1足したら是非ともそれより大きな数になるのは間相違ないんだし。でもそれと同じ理屈がアレフ?ゼロにも通用するのかな?

試しに先ほどの集合からツナ板ばさみを拝借して全天然数の集合に加え、これをアレフゼロ+1の集合としましょう。

先ほど確認したように、この2つの集合を比較する唯一の術は一対一対応、です。ツナ板ばさみを先鶏冠に置いた方を集合Cと呼び、並の天然数の集合の方は集合Dと呼ぶことにすると、集合Cは{ツナ板ばさみ, 0, 1, 2, 3, 4...}、集合Dは{0, 1, 2, 3, 4, 5...}となりますよね。で、左からツナ板ばさみを0に合わせ、0を1、1を2、2を3、3を4、4を5と突き合発言させていくと...これどこまで対応させてもキリないですよね? どっちも後から後から元が出てきて一順番限に尽きることがないし、目が潰れるまで気があるなだけ一順番限に対応させ継続することができます。要するにどういうことか? アレフゼロとアレフゼロ+ツナ板ばさみはぴったしイコールなのです。

わかります、これものすごくヘンな結論で、はるかに直感ですんなりとは浴び難いですよね? 当のゲオルク?カントール自身も超限数算術を語る中で、「見えるのに、信じられない」という著名な言葉を残していますし。

さて、ここから先はなおさらヘンになってゆきますよ。いいですか、ここで質問です。偶数の天然数の集合と全天然数の集合とではどちらが大きいでしょう? 

我々の鶏冠は有限なので「偶数と奇数を根こそぎ足せば、偶数を根こそぎ足した数の倍に決まってるじゃん」って思っちゃいますよね。でもちょこっと一対一対応をやると分かることだけど、集合論の上ではこのふたつは全然イコールなんです。一順番限に2を掛けたところで答えはやっぱし一順番限なんでございますよ。


Infinity Times Infinity - 一順番限×一順番限
さて、ここからが本当の難問です。全有理数の集合は、どうでしょう? 

有理数とは2つの整数の分数であらわせる数のこと。分母も分坊主も一順番限にあるわけですから、ここで言ってるのは元の数が一順番限大の集合{1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...}の後に、一順番限大の集合{2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5...}があって、そのまた後に一順番限大の集合{3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5...}があって...というのが一順番限回続いたらどうなるか、という話ですね。つまり一順番限の集合を一順番限回集めたらどうなるのか?



アレフ?ゼロより大きな一順番限数があるとすれば、きっとこれがその糸口になるはず、ですよね? 全天然数と全有理数の一対一対応は1を分坊主に使えば可能だけど、それでも対応させなきゃならない数は一順番限にあるんだし、尚且つ分坊主2以上の数の集合も一順番限に残ってしまいますから。

もちろんこの2つを一対一対応させる手立ては、あります。やり方を説明するためには、朝飯前な表を作らないといけません。

分坊主が1の全有理数は初っ端の行に置き、分坊主が2ものは次の行...という具合に置いてゆき、行も列も一順番限になるまでこれを継続するんですね。

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5 ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5 ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5 ...
...

ちょっと見づらいかもですけど、これは一順番限の表の始まりのところですね。世に存在する有理数はすべてこの一順番限の表のどこかに是非とも当てはまるはずです。行の分母は一順番限に大きくなり、縦の列の分坊主も一順番限に大きくなっていくので。 こんな表をつくれるってこと自体が、もしかして一対一対応が可能という予感がしますよね! なおさら丁寧に対応の仕方を見てみましょう。

まず初っ端の天然数0を1/1と対応させます。次に行をひとつ下がって、1を2/1と対応させます。で、斜め上に上がって2を1/2と対応させます。次に初っ端の列にぶっり反して3を3/1と対応させ、斜め上に進んで4を2/2と、5を1/3と対応させます。これを両集合とも一順番限に継続してゆけばいいんです。天然数の方が有理数より絶対進みが早いのだけど、それは重要じゃありません。大切なのは有理数を、あるひとつの一順番限の集合の中に並べることができたという事実。要するに有理数のセットも濃度は、アレフゼロなんです。


The Uncountably Infinite - 非可算一順番限
さて、ここまでに取り上げた集合は根こそぎ「可算」と呼ばれるものです。可算とは、天然数の集合と対等以下の濃度を有する、という意風味。これを可算と呼び出したのはゲオルク?カントールが初っ端です。

原理ははるかにシンプルで、可算集合とは元がすべて1、2、3...と天然数と対応させられる集合のことを指す、というんですね。数えるのに一順番限に場合間がかかるとしても元を数えることは可能、そんな集合のことを可算集合と言うのです。

天然数の集合より遥かに大きいにも関わらず全有理数の集合が可算なことは先ほど確かめた通りです。上の表であらわしたように、一順番限= 一順番限^2(2乗)なんですね。数を足したり、掛けたり、2乗にしたところで一順番限には絶対到達し得ないのと全然同じで、アレフゼロに同じこと(加算?積算?乗算)をやったところでさらに大きなレベルの一順番限には絶対到達し得ないのです。

そんなわけでアレフワンという一順番限の次段階に抜けるには、我々は数えられないほど一順番限な何かを探さなきゃなりません。


Cantor's Diagonals - カントールの対角線論法

数えられないほど一順番限の集合とはなんなのか? これにゲオルク?カントールはこれ以上ないほど見事な解釈を示しました。
最もよく知られている非可算集合は全実数の集合です。つまり全天然数と全有理数と全一順番理数(2の平方根など)と超越数(π の値、eの値など)を含む集合のこと。因みに一順番理数と超越数は表現可能なことは可能だけど、小数点以下に数が一順番限に許す数でしか表現できませんよね。

さて説明は単純な方がいいので、ここではどの桁も0か1しかない二進記数法(binary number system)で考えてみましょうか。二進法の実数を桁ごとに拾い、それを元として並べたSequence(数列)を作るとします。並べ方はどうでもOKなので、まあ、ここではこんな感じに作ってみましょうかね...

Sequence 1 = (1, 1, 1, 1, 1...) = .11111...
Sequence 2 = (0, 0, 0, 0, 0...) = .00000...
Sequence 3 = (0, 1, 0, 1, 0...) = .01010...
Sequence 4 = (1, 0, 1, 0, 1...) = .10101...
Sequence 5 = (1, 1, 0, 0, 1...) = .11001...

...などなどこれを永久にやるわけですな。ここで考えなきゃならない異常は、「こうした数列を一順番限個作ったらそれで実数を根こそぎ網羅したことになるのか?」ということ。ならないことを実証するには、今つくった一順番限個あるSequenceのどこにも定義上絶対当てはまらない実数を作らなきゃなりません。

そこで「どれいっちょ作ったるか!」とカントールがやったのは想像の斜め上をいく技でした。

カントールはまず各Sequence(数列)を、どれかひとつ特定の元に関連付けてみたんですね。Sequence 1は1だから1順番目の元(1)、Sequence 2は2だから2順番目の元(0)、Sequence 3は3順番目の元(0)...といった具合に。こうしてSequence 1の1順番目の元から斜め下に降りていけば、斜め線が通る数字がとっくにひとつの集合を成し、数字1個1個がその元になります。これでできた(1, 0, 0, 0, 1...)を仮にSequence Diagonal(斜め数列)と呼ぶことにしましょうかね。

さて、話が面白くなるのは、ここからです。


Into the Continuum - 連続体の世界へ

この斜め数列の1と0を根こそぎひっくり返してできる数列、つまり(0, 1, 1, 1, 0...)= .01110...を仮にSequence 0とします。これも先般確認したように実数ですよね。有限あるいは一順番限の桁で成り立ち上がる数字であればびりな数でも実数なので。でも、この0.1110...という実数、先ほどつくった実数の集合に絶対含まれてると思います?
Sequence 1じゃないことは確かですよね、だって初っ端の元が不向き(ひっくり返した)から。 Sequence 2でもありません、だって2順番目の元が不向きから。Sequence 3でもありません、だって3順番目の元が不向きから。Seque...あとは書かなくても読み取れますよね、はい。

このようにあの表からどの集合を引っ弾力出してきても、Sequence 0とは不向き元が是非とも1個あるんですよお。Sequence 0は今つくった実数の集合には絶対見つかりっこないはぐれ者なのです。よって全実数の集合をつくることも、それを天然数に一対一対応させることも無茶苦茶という結論になります。つまりアレフゼロよりさらに大きい。これがみなさま、世に言う「連続体(continuum)」なるものでございますよ。

連続体とは全実数の集合に与えられた呼び名というわけですが、実のところアレフゼロよりびりくらい一順番限なんでしょうね? ゲオルグ?カントールが知る限り、天然数の集合の濃度と実数の集合の濃度の間の濃度を有する集合はひとつも存在しなかったようです。換言すると天然数がアレフゼロなら、全実数はアレフワン、ということになります。

この「可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しない」という仮説は1877年に初入れ提示され、やがて「連続体仮説(continuum hypothesis)」という名がつきます。...そして134年経った今なお数学者の間では一順番理を承知で立証?反証の試みがなされているんですよ。


To Aleph-Null And Beyond - アレフゼロとその彼方
連続体仮説が本当かどうかはさておき、これで我々もついにアレフ?ゼロと(少なくとも)アレフワンまで姿を現しましたね。どちらも一順番限だけど後者の方が前者よりものすごく一順番限だってことも判明しました。

でも一順番限ってこの2つだけなの? なおさら先まで這い登ればアレフツー、アレフスリー、アレフフォ~...と、まさか延々と広がってたりしないですよね?

なおさら先まで進むことは...実言うと可能です。進むには、その割れそうな鶏冠にとっくにひとつだけコンセプトを捩じ込んでやるだけでOKなのですよ。そのコンセプトとは...馬力セット、昼間の場合間本語で言う「べき集合(power sets)」ってやつです。

任意の数Nのべき集合とは集合Nの部分集合すべての集合を指す...と言われても何が何だか鶏冠が破裂寸前だと思うので、実際の例を一順番くなって説明しましょう。

えーと例えば集合3を{1, 2, 3}として、そのべき集合が知りたいとしますよね? べき集合には存在し得るすべての部分集合が含まれるって話ですから、3要素の集合 {1, 2, 3}、2要素の集合{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、1要素の集合{1}、{2}、{3}とあとはゼロ要素の集合{}で、計8つの部分集合が含まれることに。つまり3のべき集合には2^3(2の3乗)個の部分集合があるんですね。まあ、3に限らず、びりな任意の数Nでやってもべき集合には2^N(2のN乗)個の元が含まれるんです。

カントールの斜めの理論(あそこまで直接にいかないところが何かを物語っているけどね)と同じ基礎ロジックを応用すると、任意の元Xのべき集合の濃度は常に、X個の元を有する集合より大きいことを示すことは可能...ですよね。よって全実数の集合 ―アレフワン― を例にとると、アレフワンのべき集合の濃度の方がそれより大きいことになります。つまり全実数の集合(アレフワン)のべき集合は最低でもアレフツーなんですね。

そしてこれは永久に継続していくことが可能です。アレフツーのべき集合はアレフスリー、アレフスリーのべき集合はアレフフォー、アレフフォーの...。

で、ここがまた実にヘンなところなんですが、べき集合をこしらえる制御はこのように永久回継続しられるので最終的にはアレフ?インフィニティに行き着いちゃうんです。というか、なおさら正確に言うと...アレフ?アレフゼロ。

いやいや、まだまだこんなのゲオルク?カントールの唱える絶対一順番限に比べりゃまだほんの序の口ですよ。絶対一順番限とは、集合理論の枠内で表現し得るものすべてを超引っ越する一順番限のことを指すのであります。かく言うカントール自身も絶対一順番限ってもしや神なんじゃあるまいか...と疑ってた節もあるんでございますよ。

もちろんこれについては異論もありますけどね。


Further Reading - さらに詳しい参考デー夕

Infinity is for Children---And Mathematicians!
http://www.ccs3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/inbkgd.html

*昼間の場合間本語の参考URLのおすすめがあればぜひ教えてね。


(satomi)



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